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「主成分分析」を学びたいあなたにチェックしてほしい良書、12冊はこちらです

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「主成分分析」とは、手元のデータの情報量をなるべく失うことなく、データの見方を変える方法です。

相関のあるデータの見方(変数・変量)を変えて、相関のない見方へ変換する(合成する)方法ともいえます。変数を独立に扱うのでなく、総合的に扱う手法です。

 

変数を総合的に扱う!?

 

というと、ピンとこない方も多いかもしれません。

例えば、優秀なプロ野球のピッチャーの指標は、急速、コントロール、スタミナ、精神力・・・などいろいろあると思いますが、その選手の特徴をどれか1つの指標で表すのではなく、すべての変数の合成で表すやり方が主成分分析となります。

ただし、主成分分析による指標は、急速・コントロール・スタミナ・精神力といった、当初想定している変数を使うのでなく、これらの合成(線形結合)によって作られた新しい変数によって表現されます。ここが重回帰分析などと違っている点となります。

 

なぜ、わざわざ新しい変数を作るの?

 

ってところですが、変数を新しく合成するメリットは、もともとのデータを変換する際の情報量の消失をなるべく抑えることができるからです。

 

なので、主成分分析では、得られたデータの情報を最大限に活かしながら、知りたい指標を表現するための新しい見方をみつける方法といえます。

 

主成分分析は、様々な分野で使われています。例えば、経営、経済、医学、スポーツ、教育などです。その他の分野でももちろん適用可能ですので、多変量データをもっているあなたは、主成分分析を身につけることで、分析力を一段アップさせることが可能です。

 

 

 

本記事では、これから主成分分析を学びたい方、使っているけど詳しく学んでみたい方、具体的な例を知りたい方、エクセルでのやり方を身につけたいあなたのために、数学的な知識は最小限で、主成分分析をサクッと学べる良書、12冊をご紹介します。

「主成分分析」を学びたいあなたにチェックしてほしい良書、12冊はこちらです

1冊目はこちら 【主成分分析を、マンガでわかりやすく学べる1冊です】

本書は、数式が苦手という方でもわかりやすい、マンガでサクッと学べる1冊です。副題にあるように、主成分分析だけでなく、因子分析も学べるお得な1冊です。

主成分分析は、数式ばかりの教科書などをみると煩雑な計算があったりで、数式が苦手な方など、難しいイメージがあるかもしれません。本書は主成分分析の分析過程を、1つずつ丁寧にストーリーの中で解説してくれます。

得られたデータから、データの分散が最大なところに軸(主成分)を通し、主成分における各データの座標を主成分得点と呼ぶ、といったことを、1つ1つ、具体的に学べます。先生役の五十嵐みうに自分が習っているような感覚で、サクッと頭に入ってきます。

次に主成分分析の4つの注意点が解説された後、具体例として、人気ラーメン店の徹底レビューのデータを主成分分析しています。主成分と主成分得点を求め、精度の確認をし、結果を検討するという一連の分析プロセスを1ステップずつ丁寧に解説されています。

数式の基本的な意味や見方なども、わかりやすく具体的に説明されているので、数式が苦手の方でも、主成分分析はこんな感じなんだ~と納得できる1冊です。さらに詳しい本を読まれる前に一読されておくと理解が加速するおすすめの本となっています。

 

 

 

 

2冊目はこちら 【主成分分析を、小説を読むように理解できる1冊です】

多変量解析とは?という方におすすめするのはこちらの1冊です。数式などの多い多変量解析関係の書籍ですが、こちらは小説を読むように、文章で理解できるように工夫されています。加えて、身近な例を使って、数式をほとんど使わず、多変量解析の全体像をサクッと理解させてくれます。内容はきちんとしているのはもちろん、わかりやすく、読みやすいおすすめの本となっています。

詳しくはこちらの記事にございます↓

「多変量解析」とは?多変量解析に入門したいあなたが最初に読んでおくとよい、おすすめ本はこちらです

 

 

 

 

3冊目はこちら 【主成分分析の全体像を、わかりやすくつかめる1冊です】

こちらは上の本と同じタイトルが同じですが、1987年に出版されており、多変量解析の初学者への入門書としては最初の1冊ではないかと思います。

主成分分析とは、

ある問題に対して、いくつかの要因が考えれるとき、それらの要因を1つ1つ独立に扱うのでなくて、総合的に扱うもの

と説明されています。その後主成分(第1主成分、第2主成分・・・)の考え方や、関東7都県のスポーツ施設数と教育施設数の相関図を例にして、情報損失量やその幾何学的意味についてもわかりやすく解説されています。

その上で、主成分の求め方が1つ1つ丁寧に説明された数式を使い、解説されています。情報損失量の求め方やその平方和、ラグランジュの乗数法から、固有値・固有ベクトルを求める流れが説明され、最後に主成分の解釈について述べられています。具体的な数字で示されているので自分で計算して確かめながら理解することができます。また、主成分得点、寄与率についても解説があります。主成分分析と回帰分析との違いのコラムも、図と合わせて理解しながら、ぜひ読んでほしい内容となっています。

加えて、主成分の求め方のその2として、主成分の分散の最大化についての方法が詳しく解説されています。分散共分散行列など、行列の知識を使って理解できることが学べます。ここでも主成分得点、寄与率、累積寄与率がどのように算出されるかを丁寧に説明されています。

また、単位の違いによる考察もなされていて、標準化されたデータの分散共分散行列が主成分分析が、相関行列による主成分分析であることが述べられています。

最後に、肝機能検査を4人の検査結果をもとに、慢性肝疾患の重症度を主成分分析によって調べる例が挙げられています。また、アジア経済研究所統計参考資料の主成分分析の結果を見て、各主成分の意味を自分で考えるようになっています。その後の専門家の見方と比較することで、主成分の意味を考える力を養うことができるように工夫されています。

本書は、主成分分析だけでなく、多変量解析の主な手法(重回帰分析、判別分析、数量化I〜IV、データの視覚化など)について、イラストを交えてわかりやすく解説されています。

初学者の方には、第1章だけでも目を通されると、多変量解析の全体像をコンパクトに理解できるて役に立つ1冊です。

 

 

 

4冊目はこちら 【イメージをつかんでから学べる、つまずかない・やりなおしにもオススメの1冊】

本書は多変量解析の初学者のために、基礎からわかりやすく解説した1冊です。

主成分分析とは?の疑問には、まず9ページからの具体例でイメージをつかませてくれます。経営分野では、生命保険会社を選ぶときにどう選べばいいの?という問いについて、生命保険会社の株式占率、外国証券占率、貸付金率、外貨建資産占有率などをもとに、総合的にまとめてランキングをつけることが主成分分析の役目だと解説されています。同様に医学や情報分野の例を用いて主成分分析の概要のイメージをしっかりつかませてくれます。

主成分分析とは?からはじまり、重回帰分析や判別分析との違い、主成分分析の例が示されます。その後主成分とは?から主成分の求め方として情報損失量の最小化が紹介され、随時、数式の図形的意味も合わせて解説されています。ヘッセの標準形、ラグランジュの乗数法、固有値・固有ベクトルなど、数学が苦手な方向けのまとめがあるところもうれしい点となっています。

その後、主成分の解釈や寄与率、累積寄与率、主成分得点、第1主成分や第2主成分、2つ目の主成分の求め方(分散の最大化)、単位の影響、多重共線性の影響などが、具体的なデータや計算式とともにわかりやすく解説されていて、手を動かしながら理解することができます。

多変量解析の中で1番わかりにくいと言われがちな主成分分析ですが、イメージをつかんだ後で基礎から学べるのでスムーズに入ることができます。主成分分析の考え方や数式による理論展開、具体例による実際の計算などとともに、図やイラストなどが活用されています。

初学者の方でもつまずかずに理解でき、過去に挫折した方にもおすすめの1冊となっています。

 

 

 

5冊目はこちら 【主成分分析を、サクッと理解し、数式も後から学べる1冊です】

主成分分析は、変数が多い資料から新しい変数を作り出すことで、より少ない変数でデータを把握するための手法です。

本書では、まずは図を用いて解説が試みてあり、数式が苦手な方も手法の概略を理解することが可能です。その後数学的な背景を、他の章も参照しながらシッカリ学ぶことができます。

2変量の場合を例にとり、寄与率などの意味をグラフと行き来しながらわかりやすく解説してくれます。寄与率が最大となることを分散が最大になると説明されていて、主成分分析のアイデアがクリアにサクッとつかめます。その後具体的に主成分の求め方が説明されているのですが、線形代数を使った説明だけでなく、高校数学の範囲での説明もあり、三角関数の加法定理や半角の定理などを使うことで求める方法が理解でき、主成分分析をより身近に感じることができるのではないでしょうか。

その後3変量での解説があり、2変量、3変量の結果からn次元での主成分分析について、
スムーズに理解できるように工夫されており、一般化された計算方法やアルゴリズムの理解にも役立つのではないでしょうか。

主成分分析が中でなにをやっているかを知りたいあなたにおすすめの1冊となっています。

 

 

 

 

6冊目はこちら 【主成分分析を、「R」で手を動かしながら学べる1冊です】

本書は、統計解析のフリーソフト「R」を使って、主成分分析を学べる1冊です。

主成分分析は、相関関係を見てもわからないデータの特徴を明らかにする方法の1つと説明されています。データのばらつき具合によって、視点を変えてデータを眺めてみる手法の1つです。ばらつきが最大、つまり情報を最も多くもっている方向で、の軸が直交するようにデータを変換することで、データの特徴を捉えると解説されています。

Rを手軽に扱うことができる「Rコマンダー」を使った操作が示されていて、エクセルのソルバーを使うような感覚でRを操作することができます。操作手順のスクリーンショットとともに解説があるので、自分のPCで操作しながら、手を動かして学ぶことができます。

加えて、手順の合間には、重要な言葉や概念の説明が簡潔にまとめられています。例えば、主成分、寄与率、累積寄与率、標準偏差、分散、スクリーンプロット、主成分数の決め方など、自分のデータを分析する際にも役立つ考え方を学べます。主成分の解釈や主成分得点、主成分負荷量などの説明があります。主成分負荷量の意味などを理解するためにバイプロットが具体的に書かれていて、理解を助けてくれます。また、主成分を解釈する際の注意点もまとめてあり、軸の直交の意味や、主成分負荷量の符号の意味など一読しておく価値があります。

実習として練習問題がありますので、やってみることで理解の確認をできるのもうれしいところです。

その後、主成分分析のしくみとして、行列の固有値・固有ベクトルの考え方を用いて、実際になにをどう計算しているのか、計算方法を数式を使いながら解説されています。主成分分析のアルゴリズムを理解するのにも役立つ内容となっています。

最後にコラムとして、主成分分析と因子分析の違いとして、モデルという構造の有無が説明されていて、多変量解析の手法を選ぶ際にも役立つ知識を得ることができます。

 

 

 

 

 

7冊目はこちら 【エクセルで手を動かしながら、具体的に学べる1冊です】

本書は、多変量解析の主な手法について具体例を用いてわかりやすく解説した1冊です。

主成分分析とは

複数の変量を集約した新変量を作り、それで資料を調べる技法

とあり、「1つ1つの個体がもっともバラバラになるような変量の和を作る」としてりんごのイラストを用いて解説がされています。

続いて、主成分の求め方(バラバラの度合い(分散)を最大にする変量の合成のしかた)が20人の中学生の5教科のテスト結果を用いて説明されています。エクセルのアドイン「ソルバー」を用いた実際の計算を行い、手を動かしながら理解できます。主成分の解釈や主成分得点についても学べます。

次に寄与率として、主成分の説明力を表現する指標について解説があります。寄与率の定義からエクセルによる計算方法もあり、自分で計算出来るようになります。さらに第2主成分の求め方、累積寄与率についての解説+エクセルによる実演があります。

加えて、変量を主成分や主成分得点で評価する変量プロットや主成分得点プロットが示されています。これによって、データを主成分に縮約して、図示する一連の流れをシッカリ学ぶことができます。

最後に数学的な定式化が述べられていて、ラグランジュの未定係数法を使った、主成分の求め方、固有値問題の解き方(累乗法が付録Fに示されています)、そして固有値問題の解と主成分の関係などがサクッと理解できます。

 

 

 

 

8冊目はこちら【わかりやすい解説で理解した後に、エクセルで演習もできる1冊】

本書は、主成分分析とは?から、主成分分析で使われる重要な単語や、主成分分析で行われている計算の中身など、主成分分析をまんべんなく、具体的な例を使ったわかりやすい解説で学べる1冊です。

主成分分析でできることとはなにか?からはじまり、適用できるデータ・できないデータの区別、主成分分析の係数の求め方、相関行列、主成分分析行列、固有値、固有方程式、連立方程式などの公式の解説や主成分得点の求め方や主成分の数、寄与率、累積寄与率の説明の後、具体的なデータについてExcelアドインソフトを使った実際の計算方法まで、シッカリ学べます。

具体例としては、大相撲の幕内力士30人の身長・体重・胸囲・座高・体重を身長で割った値のデータが使われていて、主成分分析を行うことで、各力士の総合体力と系別体力をモデル化する試みが示されています。(株式会社アイスタット作成のアドインソフトを使って行われていて、そのソフトはダウンロードして使うことが可能となっています。)

本書は主成分分析だけでなく、基本統計量から相関分析、直線回帰分析、曲線回帰分析、CS分析、重回帰分析、時系列重回帰分析、コンジョイント分析、マルチ回帰分析なども学べ、さまざまな多変量解析をエクセルでやりたい方にも役に立つ1冊となっています。

 

 

 

 

9冊目はこちら【エクセルで手を動かしながら、サクッと学びたいならこちらの1冊】

本書はエクセルを使いながら、主成分分析をスムーズに学べる1冊です。基礎編・操作編にわかれていて、手法の詳細や注意点などは基礎編に、エクセルによる分析のやり方にうちては操作編で詳しく学ぶことができます。

基礎編では、主成分とは?からはじまり、情報量の考え方、主成分のグラフ表現、情報量の分割、第2主成分、情報量保存方程式、主成分のベクトル的解釈、主成分の意味づけ、サンプルの特徴を探る方法などがまとめられています。

操作編では、野球の打撃のデータを例にして、主成分分析の解析についての操作がスクリーンショットとともに1つ1つ説明されています。固有値、情報吸収量、主成分の係数、主成分得点、相関行列などの結果の見方から、サブ解析を行うことによる図の書き方が解説されています。変数数がサンプル数よりも多い場合の主成分分析にも対応しているとのことです。

 

 

 

 

10冊目はこちら【主成分分析を理論からシッカリ学びたいあなたはこちらの1冊をどうぞ】

本書は、多変量解析の基礎から解説され、例題や具体例、練習問題などを通じて、計算方法を手を動かしながら理解を確認できる1冊です。

主成分分析とは、多くの量的変数の相関構造を利用して、低い次元の合成変数に変換し、データが持つ情報を解釈しやすくする方法として解説されています。本書では、相関係数行列を用いた主成分分析が説明されています。

まず10人の生徒に実施した4教科の試験成績データをもとにして、科目や生徒をどのように分類できるか、などについて1つずつ丁寧に解説されています。まず2変数の場合の主成分分析の説明があり、計算手順が示されるだけでなく、行列の固有値・固有ベクトルの性質など、線形代数の知識も随時紹介されていて、理解を深めてくれます。寄与率、累積寄与率から、因子負荷量や主成分の解釈、主成分得点が、例題を交えながら解説されています。2回目に読むときなど、例題が解けるやってみることで、理解度を測れるように工夫されています。

次にp変数の場合の主成分分析が解説されています。例題では4つのデータを使って演習することで、一般化へのハードルを下げてくれています。また、実際の計算結果の表とその解説をみることで、実務で重要となる、変数が多い場合の解釈の仕方などの参考にすることができます。

その後、行列とベクトルによる表現として、主成分分析の理論的な面が補足されています。主成分の導出において、ラグランジュの未定乗数法による分散の最大化や、主成分と固有値問題の解の関係などが解説されています。また、固有値問題を解いて得られた解から、スペクトル分解が示されていて、主成分分析がスペクトル分解に基づいて相関係数行列の近似であることが示されています。なので、データ内に相関構造がなければ、すべての固有値は1近くになり、主成分分析がうまくいきにくいことが理解できます。

最後に練習問題が5題あり、学生さんなら試験対策に、先生方は問題作成の参考例に、プログラミングするならアルゴリズムの参考にすることができます。

本書では、多変量解析の基本的な手法群(単回帰分析、重回帰分析、数量化1類、判別分析、数量化2類、主成分分析、数量化3類、多次元尺度構成法、クラスター分析など)が基本的な考え方とともに、理論的な内容も学べるように配慮されています。理論と例題・練習問題を行き来することで、理解が促進されるおすすめの1冊となっています。

 

 

 

 

 

11冊目はこちら【主成分分析を理論からシッカリ学びたいあなたはこちらの1冊をどうぞ】

本書は、多変量解析を専門的に学びたい方向けの入門書です。

主成分分析とは、

互いに相関のある変数について観測された多次元データのもつ情報をできるだけ失うことなく、もとの変数の線形結合で表される新たな変数への要約するための手法

と述べられています。また、主成分分析では、高次元データをより少数個の変数へ要約することで次元の縮小(次元圧縮)を行い、高次元のデータ構造を3次元以下の、視覚的に理解できる形に射影する使い方もあります。

 

本書では、まず線形性に基づく主成分分析の考え方や目的などがキチンと説明されます。次元圧縮を行って送信した画像データの復元法なども解説されています。また、主成分分析と共通点の多い特異値分解との違いなどの説明もされています。

加えて、カーネル法を用いた非線形主成分分析についても解説されていて、複雑な非線形構造をもった多次元データの次元圧縮や構造探索、情報抽出に役立つ方法となっています。

本書は、統計的多変量解析、機械学習、計算アルゴリズムなどの分野の、先端研究の理解のための第一歩となる良書となっています。

 

 

 

 

12冊目はこちら 【主成分分析の現場でのさまざまな実例を参考にできる1冊】

本書は多変量解析の現場での実例をあつめたハンドブックです。工学・生物・農学・医学・体育・スポーツ・経済・経営・心理・言語など、多変量解析の多岐に渡る応用例がまとめられています。主成分分析を使った分析例も豊富で、本書には14報もの具体例が示されています。

【工学分野】では、画像処理への応用、物体表面の質感の要因分析、個別尺度データでの景観評価について、主成分分析による分析例がまとめられています。

画像処理への応用の章として、顔画像の認識への主成分分析の応用例が示されています。Trunk & Pentlandによる固有顔のによる方法が、固有顔の画像例とともに、サクッと解説されています。質感の要因分析の章では、ゴム表面の視覚質感についての分析例がまとめられています。主成分分析によって、明度感についての(資料)×(条件)の交互作用の主成分を明らかにすることが試みられています。景観評価では、自分の語彙で評価する個別尺度法により得られた景観写真の評価について、主成分分析での分析された例がまとめられています。共通尺度で得られたデータとは違った考え方で分析していくパーソナル・コントラクト型主成分分析法が紹介されています。

【生物・農学分野】では、形態人類学での形や、植物の輪郭形状について、主成分分析を用いた分析例が示されています。

形態人類学の”かたち”は、集団の類縁性を論じる際に使われます。ここでは頭全体のサイズで基準化したデータについて主成分分析が行われています。時代変化の影響を最小限にするために、形から大きさの要素を取り除いた変数を用い、その変数について主成分分析が行われています。ペンローズのシェイプ距離によるクラスター分析との比較も示されています。植物の輪郭形状の評価の章では、植物の葉や粒の形状を標準化楕円フーリエ係数で表現し、それに対し主成分分析を行うことで、形状に関する情報圧縮と特徴抽出が行われています。植物の葉形や粒形の定量的評価は農業でも重要となるからです。主成分分析は、SASプロシージャー PRINCOMP で行われています。

【医学分野】では、国立医療機関の採算性の主成分分析や、老年者の代表的食品摂取についての主成分分析例が示されています。

国立医療機関の採算性の分析の章では、病院の収益についてどのような背景からなるかを調べています。経営指標、施設規模(病床数・外来患者数・手術数)、診療科別医師数、医師の性別・年齢・勤続年数、研究活動、所在地・交通機関・競合病院などを変数として主成分分析が行われ、第1主成分として医師総数、診療科数、外科医師数、手術件数、常勤医師数など、第2主成分〜第6成分などが示され、病院経営に対する提言がまとめられています。老年者の代表的食品摂取の章では、喪失歯数が多くなった老年者と食品摂取についての関係が調べられています。主成分分析により、第1主成分は食品の硬さ・やわらかさの指標であることなどが述べられています。

【体育・スポーツ分野】では、体型の比較や、健康的価値観についての主成分分析の事例が紹介されています。

体型の比較の章では、身体計測情報を要約して少数次元の体系分類の基準を見いだすために主成分分析が用いられています。一般的には、衣料サイズの基本身体寸法を選んだり、衣料設計に用いる変数を発見するために多変量解析が使われています。ここでは体型を分類・比較して、その特徴を導き出すために主成分分析が用いられています。健康的価値観についての検討の章では、日常生活行動項目(68項目)について、日常生活の中で実践する価値について5点尺度(まったくない・あまりない・どちらともいえない・ややある・とてもある)での女子大生へのアンケート結果について、スピアマンの順位相関係数を計算後、主成分分析を行い項目間構造を検討しています。主成分の中身や、第1主成分得点と第2主成分得点を座標上にプロットした図などから、日常生活の中で実践する価値のあると考えられているものや、心身の健康にとってよいものについての価値観が明らかにされています。ちなみに分析には、統計パッケージソフト SAS が用いられています。

【経済・経営分野】では、債券ポートフォリオの構築や、企業の評価・分類・ランキングのために主成分分析が活用されています。

債券ポートフォリオの構築の章では、イミュナイゼーション(金利の変動に対して資産時価の変動と負債時価の変動を等しくなるように債券ポートフォリオを保有すること)を行うために、Houglet の方法を用いて国債から金利機関構造を推定し、金利時系列データに主成分分析を行っています。企業の評価・分類・ランキングの章では、主成分分析がさまざまな経済指標から総合的な指標を合成するために使われていることが紹介されています。ここでは環境問題に対する企業の取り組みを評価するための総合指標を作成する例が示されています。

【心理分野】では、共通重みを用いた3相データや入試データについて、センター試験5教科の得点プロフィールに見る受験者の個性についての主成分分析の適用例が示されています。

共通重みを用いた3相データの主成分分析の章では、性格の自己評定と他者評定の関係について主成分分析を用いて調べられています。データは被験者×項目×条件の3相データとなっており、共通の項目に共通の重みを用いて尺度を構成し、それらの尺度について解析されています。重みを同時主成分分析によって求め、Harris-Kaiser の独立クラスター回転(quartimax 回転)によって一義的に決定しています。潜在方程式モデルでも分析可能ですが、本件について主成分分析を用いるメリット4点(事前の構造モデルが想定しなくてよいなど)と短所2点も求められており、手法の特性を知るのに役立ちます。入試データの主成分分析の章では、サンデー毎日臨時増刊号の高校別大学合格者数のデータを用いて主成分分析を行い、学力のランクと地理的な位置関係についての関係などを調べています。各高校単位での進学先の分類(クラスター分析)や、各大学の各高校からの受入数の情報について主成分分析を行い、主成分スコアを算出し、クラスター分析との比較を行っています。高校からと大学からの両方向から結果をみてクロスバリデーションが行われています。センター試験5教科の得点プロフィールに見る受験者の個性についての章では、通常合否判定で使われる合計点以外の多様な学力特性について主成分分析や双対尺度法を用いて分析されています。合格の判定基準となる合計点が、もとのセンター試験データの持つ情報をどの程度代表するものなのかという問いに基づいています。合計点に集約する歳に失われる情報や合計点だけで説明できない変動に含まれる情報ついて、どんな意味があるのか考察されています。

本書は、あなたが業務で活かせる多様な事例に出会える1冊となっています。

 

 

 

というわけで、今回は「主成分分析」を学びたいあなたにチェックしてほしい良書、12冊をご紹介しました。

 

 

 

 

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