「ロジスティック回帰分析」を使うことになったんだけど、
- ロジスティック回帰分析ってなに？
- どんな例があるの？
- サクッと簡単にできるソフトってないの？
など思われる方も多いかもしれません。
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今回は、
- ロジスティック回帰分析とは？
というところから、
- 具体例やオッズ比
- 重回帰分析との違い
などを、サクッとわかりやすいようにまとめました。
本記事の概要
ロジスティック回帰分析とは
一言でいうと、
ある現象の発生確率を、複数の因子の組み合わせとそれらの程度からモデル化する方法
です。
でもこれだけだと、
ん？なにそれ？
ってなりますよね。なので、順を追って説明しますね。
ある現象の発生確率 p(X) を調べたいとします。
その原因になりそうなもの（因子・変数・説明変数・独立変数などと呼ばれます）x1, x2,・・・xn を考えます。（因子をまとめて、x = (x1, x2, ・・・, xn) と書きます）
この現象を、因子が起こったときの条件付き確率として考えると、
p(X) = Probability( 発生 | x )
と表現できます。
また、関数 F(x1, x2, ・・・, xn) を使って、
p(X) = Probability( 発生 | x ) = F (x1, x2, ・・・, xn)
とすると、 F で p(X) をモデル化するとよさそうです。
ロジスティック回帰分析では、この関数 F にロジスティック関数を使います。
ロジスティック関数 f は、一般に、r を変数として、
f = 1 / (1 + exp( – r ) )
という形をしています。
今回の変数は、x1, x2, ・・・, xn の因子群（変数・説明変数・独立変数）です。これを
Z = β0 + β1*x1 + β2*x2 + ・・・ + βn*xn
の線形結合に合成して、
F = 1 / (1 + exp( – Z ) )
として発生確率をモデル化します。
なので、ロジスティック回帰分析では、ロジスティック関数を通じて、因子群と発生確率を結びつけています。
ちなみに、β0, β1, ・・・ , βn は、回帰係数と呼ばれます。
このロジスティック回帰モデルをデータから推定することをロジスティック回帰分析といいます。分析によって回帰係数が求まり、因子の影響と発生確率の関係を知ることができるわけです。
ロジスティック回帰分析の例にはどんなものがあるの？
ロジスティック回帰分析の例としては、「フラミンガム研究」が有名です。
フラミンガム研究は、1948年にアメリカ・フラミンガムで始まった疫学研究で、冠状動脈性疾患のリスク因子につい調べた研究です。
多くの病気の原因は
- 複数の原因（因子）の組み合わせ
- 各原因の影響が異なる
- 同程度の原因でも発症する・しない人がいる
といった特徴があります。
健康な人・患者さんのどちらにも原因があり、その組み合わせや原因の程度も様々だと考えます。その中で、どんな人が発症する確率が高いかを研究しました。
フラミンガムの研究では、原因（因子）には、年齢・血清コレステロール・収縮期血圧・相対体重・ヘモグロビン・喫煙・心電図所見の７つが検討され、これらの原因への曝露と、発症の割合について、ロジスティック回帰分析によってモデル化されました。
そして、得られた回帰係数などの情報から、年齢・コレステロール・血圧が高いほど、発症リスクが高くなる、といったことがわかりました。
このフラミンガムの研究によって、ロジスティック回帰分析の有用性が示されたとも言えます。
効果的な予防ができそうだね〜
自分のデータでも使える方法だ！
回帰係数を求めればいいんだね〜
と思われた方も多いかと思います。たしかに回帰係数の情報は役に立ちますが、個々の因子の影響の大きさを評価しているわけではないんです。なので、
それぞれの因子の影響の大きさはどのくらいなの？
に答えることができるとさらにいいですよね。
フラミンガムの研究でいえば、年齢・コレステロール・血圧のどれが１番影響するの？
といったように、個々の因子の影響の大きさを知りたいわけです。
次はそれらについて解説していきますね。
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